События

Совместные события – такие события, появление одного из которых не исключает возможность появления другого.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:
p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB).

Несовместные события – такие события, появление одного из которых исключает возможность появления другого.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
p(A + B) = p(A) + p(B).

Зависимые события – такие события, появление одного из которых влияет на появление другого события.

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого:
p(A * B) = p(A) * p(В/А) = p(B) * p(А/В).

Независимые события – такие события, появление одного из которых не влияет на появление другого события.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
p(A*B) = p(A)*p(B).

Противоположное событие - событие, являющееся обратным по отношению к какому либо событию.

Например успешному шансу появления четверки на игральной кости будет являться 1/6. А противоположностью этого события будет являться шанс, что кость не выпадет, то есть 5/6.

Вероятность противоположного события равна единице, минус вероятность этого события

Формула полной вероятности:
Вероятность события А, которое может произойти одновременно с одним из n попарно несовместимых событий Н1, Н2, ... Нn , называемых гипотезами, образующих полную группу событий, равна:

p(A)=p(H1)*p(A/H1)+p(H2)*p(A/H2)+...+p(Hn)*p(A/Hn)

Пример1:

Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны:
р(А) = 0,7 и р(В) = 0,8.
Найти вероятность событий:
а) попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из них;
б) попадание при одном залпе из обоих орудий.

Здесь события совместимы и независимы. Поэтому используем соответствующую формулу:

В случае (а):
p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB) = 0,7+0,8-0,7*0,8 = 0,94
или 1-(1-0,7)*(1-0,8) = 0,94

Вслучае (б):

p(A*B) = p(A)*p(B) = 0,7*0,8 = (или) 7/10 + 8/10 = 0,56

Пример2:

В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

В таком, с одной стороны сложном примере, всего-то нужно использовать формулу полной вероятности:

А - событие "лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной";
Н1 - событие "из второй коробки переложена стандартная лампа";
Н2 - событие "из второй коробки переложена нестандартная лампа".

p(H1)=9/10;
p(H2)=1/10;
p(A/H1)=19/21; (Так как в коробке +1 стандартная лампа)
p(A/H2)=18/21; (Так как в коробке +1 не стандартная лампа)
p(A) =p(H1)*p(A/H1)+p(H2)*p(A/H2) = 9/10*19/21+1/10*18/21 = 189/210 = 0,9

Использовались материалы отседова:
http://www.spcpa.ru/learning/zao/v7.html