Лекции по математике

Достаточно занятные лекции, давно хотелось чего-то подобного и вот нашлось. Спасибо профессору Потапенко Александру Алексеевичу

События

Совместные события – такие события, появление одного из которых не исключает возможность появления другого.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:
p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB).

Несовместные события – такие события, появление одного из которых исключает возможность появления другого.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
p(A + B) = p(A) + p(B).

Зависимые события – такие события, появление одного из которых влияет на появление другого события.

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого:
p(A * B) = p(A) * p(В/А) = p(B) * p(А/В).

Независимые события – такие события, появление одного из которых не влияет на появление другого события.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
p(A*B) = p(A)*p(B).

Противоположное событие - событие, являющееся обратным по отношению к какому либо событию.

Например успешному шансу появления четверки на игральной кости будет являться 1/6. А противоположностью этого события будет являться шанс, что кость не выпадет, то есть 5/6.

Вероятность противоположного события равна единице, минус вероятность этого события

Формула полной вероятности:
Вероятность события А, которое может произойти одновременно с одним из n попарно несовместимых событий Н1, Н2, ... Нn , называемых гипотезами, образующих полную группу событий, равна:

p(A)=p(H1)*p(A/H1)+p(H2)*p(A/H2)+...+p(Hn)*p(A/Hn)

Пример1:

Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны:
р(А) = 0,7 и р(В) = 0,8.
Найти вероятность событий:
а) попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из них;
б) попадание при одном залпе из обоих орудий.

Здесь события совместимы и независимы. Поэтому используем соответствующую формулу:

В случае (а):
p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB) = 0,7+0,8-0,7*0,8 = 0,94
или 1-(1-0,7)*(1-0,8) = 0,94

Вслучае (б):

p(A*B) = p(A)*p(B) = 0,7*0,8 = (или) 7/10 + 8/10 = 0,56

Пример2:

В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

В таком, с одной стороны сложном примере, всего-то нужно использовать формулу полной вероятности:

А - событие "лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной";
Н1 - событие "из второй коробки переложена стандартная лампа";
Н2 - событие "из второй коробки переложена нестандартная лампа".

p(H1)=9/10;
p(H2)=1/10;
p(A/H1)=19/21; (Так как в коробке +1 стандартная лампа)
p(A/H2)=18/21; (Так как в коробке +1 не стандартная лампа)
p(A) =p(H1)*p(A/H1)+p(H2)*p(A/H2) = 9/10*19/21+1/10*18/21 = 189/210 = 0,9

Использовались материалы отседова:
http://www.spcpa.ru/learning/zao/v7.html

Класическое опртеделение теории вероятностей

Вероятностью события является сумма вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию.

Ну а если же вероятное пространство построено из равно возможных исходов - то класическая теорема примет вид:

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу равновозможных исходов.

Другими словами если мы кидаем одну игральную кость, то шанс выпада четверки будет 1/6.
Где 1 - число благоприятствующих событий (четверка ведь в кости одна), а 6 - общее число исходов (всего 6 сторон у игральной кости)

Так же вероятность представляется в виде:

1. Простой дроби: 1/6
2. Десятичной дроби: 0.1666666(6)
3. Процентах 16.66%
   

Основные правила комбинаторики

Правило сложения и правило умножения

Правило сложения используется когда множества не совместимы, а правило умножения используется когда для каждой комбинации первого множества есть все комбинации второго множества (Как в случае размещения без повторений, где n в степени k можно представить n*n*n...*n(k раз), то же самое правило умножения).

Например один злостный взломщик кода подбирает пароль, состоящий из 6 символов. И он точно знает, что первые два символа - это цифры (0-9) а последующие четыре - буквы (a-g(всего 7)). Но вот только одного он не помнит, либо первые два символа - это все-таки буквы, а последующие четыре не иначе как цифры (вот так вот пароль криво подслушал).

Что бы рассчитать все возможные варианты такого перебора можно воспользоваться правилами сложения и умножения:

1. В случае если первые 2 - цифры, остальные буквы: 7^2*10^4 = 490000
2. В случае если первые 2 - буквы, остальные цифры: 10^2*7^4 = 240100
3. Эти два варианта были несовместимыми множествами, т.к. друг к другу перебором никак не относятся. Поэтому остается их только сложить и получить количество комбинаций.

Полностью расчет будет выглядеть так:

Теорема о включениях и исключениях

(потом еще допишу)

Сочетания с повторениями

Хех ну здесь штука хоть и замысловатее, но все равно полезная.

Допустим у нас есть склад котлет, всего на складе 9 сортов этих самых котлет =)
А нам-то надо всего ничего, эдак штук 45, не больше не меньше. При чем пока спит сторож мы эти 45 котлет тягаем в полной темноте и вообще не ясно какой сорт оказался в сумке, лишь бы оказался.
И тут можно высчитать количество комбинаций из 45 котлет со всевозможными сортами. Тут могут быть и все котлеты одного сорта и все полностью разного и т.п.
Все это легко и просто считается по формуле:А полностью формула выглядит вот так:

Сочетания без повторений

Сочетания отличаются от размещений тем, что в них не учитывается порядок размещенных элементов.
Формула выглядит так:
Например в той задаче про стулья мало того, что выбиралась группа людей сидящих на стульях, но и высчитывалась перестановка всех возможных вариантов расположения этой выбранной группы.

А вот допустим нужно просто сунуть руку в карман с 20 разными монетами достать оттуда эдак штук 6 и переложить в другой карман. Ясное дело в кармане они будут лежать как небольшая кучка, ни разу не упорядоченная. Вот тут-то и применяется сочетание.
И будет решаться вот так вот:

Перестановки с повторениями

А вот здесь хоть на вид и сложнее, чем в перестановках без повторений, но на самом деле все предельно просто. Главное сразу понять зачем они нужны, эти перестановки с повторениями. И вроде про это нормально нигде не написано.

Итак допустим такая ситуация, передо мной стоит (уже) четыре чашки одинаковой раскраски, но две кружки с чаем и две кружки с кофе.
С одной стороны возможные варианты комбинаций можно высчитать просто 4!
Но с другой то стороны, мы имеем 2 абсолютно одинаковые кружки с кофе и 2 абсолютно одинаковые кружки с чаем. Из этого следует, что если в комбинации:

(кофе)D (чай)D (кофе)D (чай)D

Поменять местами кружки с кофе, то от этого комбинация абсолютно не изменится.
Поэтому идем другим путем и рассчитываем по новой формуле:
Где n - количество всех элементов, n1 - количество элементов первого типа, n2 - количествово элементов второго типа и т.п.

И теперь правильно считаем по правильной формуле:

Вот всего-то получается комбинаций.